Об устойчивости тороидальной планеты

[Бухой терминатор]

 В тексте про тороидальную планету:

Кора планеты искусственно армирована упругой сеткой из сверхпрочных волокон. Это необходимо ввиду нестабильности тороидальной планеты: даже малейшее возмущение со стороны какой-нибудь случайной кометы нарушает равновесие между центробежной силой и самогравитацией. Это привело бы к разрушению планеты, если бы не упругая сетка, каждый раз возвращающая планете равновесную форму.

 Однако, я только что наткнулся в интернете на статью, в которой утверждается, что такая форма может быть устойчивой:

Жидкие тела вращения

Итак, гравитационное поле звезды зависит от ее формы и скорости вращения. Но и сама форма зависит от вращения. Посмотрим, как связаны эти параметры. На рис.4 показана последовательность фигур равновесия самогравитирующих тел. Странным словом “самогравитирующее” обозначают тот факт, что тело подвержено только действию собственной силы тяжести, которой противостоит внутреннее изотропное давление. Рисунок построен в координатах “квадрат безразмерного углового момента j - квадрат безразмерной угловой скорости w”:

j = Jr^1/6 /  2M^5/3ЦpG,     w = W / Ц4pGr

где M, r, J, W - масса, плотность, момент импульса и угловая скорость вращения тела соответственно. Линии на рисунке показывают решения уравнений равновесия, т.е. указывают, с какой угловой скоростью будет вращаться тело, обладающее определенным моментом импульса. Темными линиями указаны решения для тел из несжимаемой жидкости. Почему взяты жидкие? Это удобная абстракция: идеальная жидкость под давлением не меняет свою плотность, но при изменении вращения меняет форму - поверхность жидкости всегда перпендикулярна сумме всех действующих на нее сил, включая центробежные. Некоторые космические тела, например планеты, действительно можно считать жидкими, поскольку их плотность слабо меняется с глубиной. Но для звезд эта абстракция не подходит: плотность их вещества сильно меняется от центра к поверхности. Поэтому для них рассчитана последовательность фигур сжимаемых тел (фигуры Джинса).

Рис. 4. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, жидких тел (темные линии) и сжимаемых, газовых тел (светлая линия). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.

 

Сначала представим себе невращающееся жидкое тело; разумеется, оно шарообразно. Начнем его раскручивать. Угловая скорость тела растет, и его фигура становится все более и более сплюснутым эллипсоидом вращения, который по традиции называют сфероидом Маклорена. Эволюционируя вдоль последовательности Маклорена, тело достигает точки максимальной угловой скорости. При дальнейшем росте момента импульса наш эллипсоид уплощается настолько, что начинает быстро возрастать его момент инерции (за счет удаления массы от оси вращения), а угловая скорость при этом уменьшается. Тело становится все более плоским и похожим на диск.

Может показаться, что в приложении к космическим телам наше исследование лишено смысла: где это видано, чтобы кто-то раскручивал планету или звезду. Заметим, что иногда бывают ситуации, когда взаимодействие двух близких тел (например, планеты и ее спутника) приводит к существенному изменению их момента импульса. Но чаще тела действительно сохраняют момент, однако заметно меняют плотность. Например, в ходе формирования звезды из разреженного облака ее размер уменьшается почти в 10⁶ раз, а плотность возрастает в ~ 10¹⁷ раз! Математически это эквивалентно росту j.

Продолжим наш мысленный эксперимент, глядя на рис. 4. От последовательности фигур Маклорена в двух точках бифуркации отходят новые кривые. Это также последовательности фигур равновесия, которые были открыты позже, чем сфероид Маклорена. Если сообщим телу момент импульса чуть больший, чем у первой точки бифуркации, и немного возмутим его форму, оно может скачком превратиться из “тыквообразного” сфероида Маклорена в “дынеобразный” эллипсоид Якоби, т.е. станет не сплюснутым, а вытянутым, и будет устойчиво вращаться вокруг оси, перпендикулярной направлению вытянутости. Если раскручивать еще сильнее, тело будет становиться все более вытянутым, пока не превратится в спицу.

Вторая точка бифуркации на кривой Маклорена связана с превращением диска в кольцо. При определенном моменте выше критического диск становится неустойчивым: за счет центробежных сил вещество из его серединки может вдруг отскочить к периферии, и получится кольцо. Казалось бы, это математическая экзотика, но недавно в областях формирования звезд были обнаружены именно такие объекты [9].

На линии Якоби также видна точка бифуркации. У сильно вытянутого эллипсоида при моменте импульса больше критического вещество может из центра отойти к краям, создав в середине перемычку. Получается фигура, похожая на земляной орех, - гантель Пуанкаре.

Почти каждая из представленных здесь фигур носит имя известного математика или физика. Вот так “просто” можно прославить свое имя в науке - достаточно найти новую фигуру равновесия вращающегося тела. И многим это удалось: на рисунке представлены далеко не все возможные формы вращающихся жидких тел. Некоторые из них весьма сложны, и любая может быть присуща планете или звезде. А это значит, что их соседи-спутники будут взаимодействовать не с материальной точкой, а, например, с бешено вращающейся гантелью. Интереснейшая задача - исследовать движение спутника такой гантели!

Итак, возможен сценарий естественного формирования тороидального космического тела, причем он действительно реализуется в каких-то "областях формирования звезд"...

[Роберт]

Сурдина я читал. Кольцо всё-таки не тор. Неустойчивость равновесия тора (именно тора) показал один из участников дискуссии на англоязычном форуме (ссылку я потерял), проделав численный рассчёт на суперкомпьютере.

[Octagon]

Хм, занятно, но я почему-то не могу отделаться от ощущения, что Гантель Пуанкаре, равно как и эллипсоид Якоби, просто разорвёт. Всё-таки шар - это самая оптимальная форма, а тут эти фигуры ещё и вращаются параллельно вытянутости.

А тема отличная была, как раз в процессе поиска информации по не-сферическим планетам я этот форум и нашёл.

[Zenitchik]

Есть проблема с несжимаемостью. Все вещества способны небольшому сжатию. А при запредельном давлении имеют свойств переходить в более компактные фазы.

но недавно в областях формирования звезд были обнаружены именно такие объекты

Крайне сомнительно. Откуда в областях формирования звёзд взяться несжимаемым жидким телам? Такие тела в принципе - большая экзотика (по вышеназванной причине).

[Tungsten]

Всё-таки шар - это самая оптимальная форма

Только для статичной планеты . Вращающаяся обязана вырождаться в диск , через эллипсоид вращения ( сфероид маклорена ) . Прочие фигуры сугубо гипотетические и естесственным путём возникнуть скорее всего не смогут .

Это в теории . На деле , за счёт неоднородной плотности и разницы скоростей вращения слоёв ( не всегда соосных ) тела приобретают самые замысловатые формы . Пример у нас под ногами , вот уже 4,5 миллиарда лет как

[Бухой терминатор]

Есть проблема с несжимаемостью. Все вещества способны небольшому сжатию. А при запредельном давлении имеют свойств переходить в более компактные фазы.

При хорошей сжимаемости могут сформироваться космические тела очень интересной формы. См. фигуру Джинса на приведенной картинке:

Вот было бы интересно на такой фигуре жить!

[Zenitchik]

См. фигуру Джинса на приведенной картинк

Видел. Вероятно, они образуются.

[vashu1]

Тут немного обсуждают тему и дают набор ссылок - http://physics.stackexchange.com/questions/10670/what-nonlinear-deformations-will-a-fast-rotating-planet-exhibit.

Насколько я понял гантель нестабильна - одна часть стремится стать больше другой и сбросить момент выбросом вещества. Кольцо насколько я понимаю аналогично. Про джинса правда ничего не нашлось, интересно как оно пишется по английски.

[Бухой терминатор]

Про джинса правда ничего не нашлось, интересно как оно пишется по английски.

Ну, известного британского ученого James Hopwood Jeans можно и в Википедии посмотреть...

 

[vashu1]

известного британского ученого James Hopwood Jeans можно и в Википедии посмотреть

Наверно он. Только проку... гугл на слово Jeans ничего кроме джинсы не покажет, гугл сколяр как его не пытай, про планеты и Джинса ничего не выдает, только его работы по газовым облакам.

[Владислав]

https://www.google.com.ua/search?q=James+Hopwood+Jeans&gws_rd=cr&ei=y79LWN7PIcjLsAH2zqGgAg

 

[vashu1]

https://www.google.com.ua/search?q=James+Hopwood+Jeans&gws_rd=cr&ei=y79LWN7PIcjLsAH2zqGgAg

Какая полезная ссылка. Все таки у русского человека есть большие проблемы с пониманием разницы между работой и результатом.

[Neper]

Все таки , у русского человека есть большая проблема почитать библиографию

phil. trans. soc . section A , вып ССXV стр 51

[Neper]

DOI: 10.1098/rsta.1915.0002.

http://sci-hub.cc/doi/10.1098/rsta.1915.0002#

[vashu1]

DOI: 10.1098/rsta.1915.0002. http://sci-hub.cc/doi/10.1098/rsta.1915.0002#

За ссылку спасибо, только про фигуру Джинса там ничего нет и быть не может, в топикстартере четко сказано что фигура Джинса это газовое тело. А тут прямо в заголовке написано про жидкие тела.

В принципе черт с ней с фигурой Джинса, к возможным формам планет она отношения не имеет и в иллюстрацию похоже была вставлена просто для красоты.

[Звёзды Светят]

А была ещё Тема про кубическую Землю.....

[инженер-исследователь]

    С точки зрения современной науки, устойчивыми являются Шар , Сфероид Маклорена, эллипсоид Якоби и для объектов из легко сжимаемых материалов-фигура Джинса.  Для планет вращающихся близко к звёздам и для Лун, устойчивой формой является эллипсоид Роша.